Explorando los números complejos: El conjunto de Mandelbrot

“El verdadero SER de la matemática radica en su capacidad inagotable de formular problemas, pero a diferencia de otras ciencias, no sólo se contenta en hallar sus soluciones, sino que, para resolverlos puede crear teorías, que a su vez generan nueva matemática. Ésta es precisamente la esencia de su dinamismo creador”


– Enzo R. Gentile

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La base de los números complejos es el número imaginario, mejor conocido como i. Históricamente, este número fueron estudiados por matemáticos como Gauss y Euler. Surgieron de la solución de la siguiente expresión:

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El número se representa con la letra i (de imaginario) ya que no existe número real tal que al multiplicarse por sí mismo, el resultado sea negativo. Ahora bien, ¿Qué es un número complejo? un número complejo es todo número de la forma:

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Tanto a como b, pertenecen al conjunto de los números reales, de manera que un número complejo tiene una forma real y otra imaginaria. Al introducir la unidad conocida como número imaginario, nótese que se ha creado un nuevo conjunto numérico: Los números complejos.

Como es de suponer, este nuevo conjunto tiene sus particularidades y asuntos interesantes sobre los cuales pueden surgir cosas increíbles, por ejemplo:

Supongamos que tenemos un número Z que pertenece al conjunto de los números complejos. Se tiene también la siguiente función iterativa:

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En la que tomamos el número Z, lo elevamos al cuadrado y añadimos una constante, al resultado le aplicamos la misma operación y así sucesivamente. Hasta acá tenemos dos posibilidades que conciernen a la constante C:

Para este estudio, se considerará nada más la posibilidad en la que el número inicial Z y la constante son iguales. Entonces, si tomamos un número complejo y le aplicamos esta operación y graficamos en el plano complejo (plano de coordenadas rectangulares con eje x real y eje y imaginario) cada punto resultante de la función y los unimos con segmentos de rectas, ¿Qué sucede?

Sucede lo siguiente:

Para algunos valores de Z, la función iterativa crece sin cota, podría decirse que escapa hacia el infinito.

diverge

 

 

Mientras que para otros valores iniciales de Z, la función “no escapa” o está acotada.

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Los que no escapan, son los puntos que nos interesan. Por ejemplo, se muestran a continuación las trayectorias de distintos valores de Z que no escapan:

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Ahora bien, ¿Qué pasa si graficamos punto por punto todo el conjunto de números complejos, tales que al aplicarles la función iterativa, estos estén acotados?

Sucede lo siguiente:

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Se genera un fractal llamado Conjunto de Mandelbrot, en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010). Precursor y creador de la geometría fractal.

Algunas definiciones del Conjunto de Mandelbrot son:

“El conjunto de todos los números tales que la función Z=Z²+C, Con un valor inicial Z=0, no escapa al infinito o esta acotado”

“El conjunto de todos los números complejos tales que el Conjunto de Julia asociado a esos puntos es un conjunto conexo”

Luego de leer las definiciones, podríamos estar familiarizados con la primera, pero ¿Que hay de la segunda?, ¿Que es un conjunto de Julia?, ¿Qué es un conjunto conexo?

Sucede que para cada punto del plano complejo, existe un conjunto llamado Conjunto de Julia asociado a dicho punto. Estos conjuntos surgen de aplicar el mismo polinomio cuadrático complejo pero esta vez el parámetro C y el valor inicial Z, son diferentes. Entonces el conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los números tales que a cada número del conjunto M, le corresponde un conjunto J que es conexo, en otras palabras, está formado de una sola pieza.

Se ahondará más sobre ello en las próximas entradas sobre números complejos:

Explorando los números complejos: Conjuntos de Julia

Explorando los números complejos: Generar conjunto de Mandelbrot en GeoGebra.

fractal

 

Referencias:

Herren, Gustavo. Fractales: Las estructuras aleatorias. Compendios, 2002. ISBN: 987-550-061-5

Bibliografía recomendada:

Steward, Ian. Les fractals. Colección Les chroniques de Rose Polymath, Librairie Classique Eugene Berlin, 1982

Blanchard, P. Complex analytic Dynamics on the Riemann sphere. En Bulletin (new series) of the American Mathematical Society.

Lesmoir-Gordon, Niguel; Rood, Will y Edney, Ralph. Introducing Fractal Geometry. Icon book UK, 2000

Peitgen, Heinz-Otto y Jurgens, H. Fraktale, Gezahmtes Chaos. Carl Stiftung Fiedrich von Siemens, 1988.

Chaos and Fractals: Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. Vol 39, American Mathematical Society.

 

Enlaces útiles:

Generadores de fractales en línea:

1-http://www.easyfractalgenerator.com/mandelbrot-set-generator.aspx

2-http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/fractales/html/index.html

3-http://www.fractalposter.com/fractal_generator.php

Software utilizado

GeoGebra versión 4.0.10.0 Debian package. Sitio web: http://www.geogebra.org/

Fraqtive 0.4.5. A Mandelbrot family fractal generator. Licensed under the GNU General Public License. Sitio web: http://fraqtive.mimec.org

 

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Suicidio

Imagen

No hay nada mejor que atarse al cuello la finísima soga que no es más que el cabello de la niña que uno ama, y como es alta colgarse en ella para quedarse ahorcado esperando la muerte o el sofoco eterno. Quedarse ahí, galopando en el aire por el aire que no pasa de tu nariz, precisamente por los cabellos que habías colocado y que ahora cortan todos los nudos en la garganta que no habías desatado en toda tu inútil vida.

Quedarse quieto,  absorto de placer, trémolo.

Colgarle entre los pechos y disfrutar un poco, escuchar sus latidos y reírse un poco, colgar de su rostro como un judas luego de haber traicionado el aliento que dios te dio como regalo para ofrecérselo luego a mefistófeles como sacrificio de un cariño que nunca dio frutos. Quedarse ahí como si uno fuese una raída cadena, un prolijo artefacto de los que se usan para sentirse mejor sin serlo.

Tal es mi caso, tal es mi estado y por ahora no concibo nada mejor que esto. Hasta que despierte y comience el letargo colectivo.

Solsticio de invierno

Quiero que mis manos desnudas
Recorran tu cuerpo, desnudo también
Una tarde en un solsticio de invierno
En un mar, junto a un arrecife de algas verdes
Mientras el viento y yo acariciamos suavemente
Tus cabellos, tus brazos, tus piernas, tu rostro
Mientras hablamos de lo mucho que me tienes loco.

Y cuando se acerque el crepúsculo
Y se refleje exponencialmente en los ojos del mundo
Estallara un beso tan intenso
Que subirá la marea, y una ola nos arrastrara hacia el mar.

Nadaremos juntos por un rato, y cuando sea de noche
La bóveda celeste estará más exótica que nunca
Descubriremos nuevas constelaciones, cometas y supernovas perdidas.

Luego secare tu ropa ya húmeda y translucida
Mientras la noche ennegrece por completo el entorno
Tu voz hermosa me dirá “Te quiero”
Te abrazare fuertemente
Y posare mis manos en tu sinusoide sagrada
Y luego de que el amor expíe por completo nuestras almas
Dormiremos allí mismo, en la arena
Con tu cabeza en mi hombro y una de tus palmas en mi pecho
Te diré que te amo
Y dormiremos juntos,
En la noche más larga del año

Soñoliento

 

Pese a sucesivas noches de desvelo
Y a altas dosis de estupefacientes
Aun estoy lucido y sobrio pára resolver tus acertijos
Nada me turba, excepto la tranquilidad misma
La incertibumbre misma de no saber si dormir o continuar despierto

Pasan las horas
Las neuronas se queman de cansancio
O letargo
Tu recuerdo: mi almohada

Ahora estoy por tomar una decisión importante
¿Pienso o me echo a dormir?
Yo sé
Yo se, que si duermo, he de soñarle
He de soñarle
Con un cuchillo en su mano izquierda
Como queriendo jugar esgrima con mis extremidades
Mientras intento abrazarla

No se que signifique eso
Pero he de soñarlo
Siempre que tengo una hemorragia cerebral
Y amanezco con tu recuerdo a mi lado
Tratando de descifrar aquel arquetipo
Suele pasar.

Ignoro las señales
Pese a la falta de hidratación y alimento
Aun conservo el semblante de un asceta tranquilo al borde del nirvana
Nada me turba, excepto la tranquilidad misma
La incertidumbre misma de no saber si sigue siendo noche o ya es de madrugada

Estoy soñoliento
Taciturno
Aletargado
Extasiado
Melancólico

Pienso…
No se si dormir o permanecer despierto
Cerrare mis ojos mientras tomo una decisión

Otredad (A Maziel)

Te hallé como una lágrima en un libro olvidado
con tu nombre escrito desde antes en mi pecho
sueño en un sueño sumergido.

Vicente Hiodobro

Me duermo en tu perfume
Y despierto en la otredad del cansancio
Me sumerjo en tu cuello
Para nunca más volver.

Cierra tus parpados
Conserva tus ojos unos instantes
Marínalos con la sustancia incolora
La miel pura
Inflamable
E intacta
De tu cuerpo
Brebaje marítimo de algas tóxicas
Bebo de ti un sorbo
Y tendré una eternidad
O una brevedad
De lucidez, de otredad.

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Ocaso

Si tú murieras
Las estrellas a pesar de su lámpara encendida
Perderían el camino
¿Qué sería del universo?

-Vicente Huidobro

 

¿No sería, acaso, hermoso,
pasar juntos la tarde mientras me fumo el aire que exhalas?
aletargarme
bebiéndome una infusión de tu piel
seguir tu sombra.
Acariciar los estáticos limites que te circunscriben (pero no te limitan)
Emancipar tu cuerpo de su absurdo ropaje
Mientras resuelvo ecuaciones diferenciales
besarte la piel hasta que se me arruguen los labios
o me vuelva loco.

Estar, por un momento, completa y recíprocamente vulnerables.

Luego acariciarte
No tocarte, Amor, acariciarte
Hacer un minucioso estudio cualitativo de tu cuerpo
Aislarme contigo y hacer uno que otro descubrimiento
Mensurar lo inconmensurable.

Ambrosía

Porque eso que llamas dolor, es tambien placentero

Quiero morder tus labios
Tanto así
Que aprietes tus ojos fuertemente
Como una señal de dolor puramente placentero
Tanto así
Que te asustes, sin soltarme
En señal de aprobación

Quiero que mi lengua acaricie suavemente tu paladar
Que tu sangre
Sea la bebida que me embriague
Y me vuelva loco.

Que tus labios
Sean la carne fresca que alimente mi delirio

Y tu lengua
La portadora del éxtasis de los besos

Quiero morderte
Periódicamente, sin temor
Y con un control absoluto
Prometo no herirte demasiado
Yo solo quiero hacerte saber cuanto te quiero
De las maneras más exóticas que conozco

Conversación en 12 preguntas evasivas

-¿Me amas?
-¿Qué es el amor?
-¿No sabes que significa, aun, al haber usado tantas veces la palabra?
-¿Me contestaras o no?
-¿Alguna vez has entablado una conexión inefable con alguien o algo?
-¿Qué tiene eso que ver?
-¿Acaso no me preguntaste que era el amor?
-¿era esa pregunta, entonces la respuesta a la pregunta que te hice?
-¿crees que una pregunta puede ser la respuesta a otra pregunta?
-¿no te suena tonto?
-¿Por qué no contestas, entonces, lo que te pregunto?
-¿¡Yo!?
-Dime… ¿Quién hizo la primera pregunta?

-Sí, Te Amo

Callar

Quiet people have the loudest minds

-Stephen Hawking

Callar significa
Abrir tus ojos y observar
Significa
Observarla a ella
Observarla a ella y a su cuerpo
A su vestimenta y a su piel
A su alma y sus zapatos
Es, en fin, observarla a ella.

Callar significa
Tener mucho en qué pensar
Es, que tus ojos cumplan más de una función
Y que tu labio inferior sea uno con el superior.

Callar significa
Quererle increíblemente
Escuchar su risa
Es hacerse el idiota

Callar es
Estar quieto como un invertebrado
Reírte de ti mismo
Escuchar lo que la muchedumbre dice
Mientras clasifico
Ideas extrañas en cuadernos vacíos

Callar significa
Querer hablar de vez en cuando
Decir una que otra tontería
Disimular un inmenso mar de poesía

Callar es, entretanto
No tener a nadie con quien hablar de verdad

 

Su cuerpo (I Parte)

Te pareces al mundo en su actitud de entrega

-Pablo Neruda

Amo tu cuerpo
y sus periféricos
sus caminos ocultos
sus ciénagas y manglares.

Tu cuerpo es un gran poema
inédito
tu cuerpo es una ciudad escondida
y yo quiero ser tu geógrafo
yo quiero trazar las líneas que te limiten
recorrer tus aristas
volverme loco mientras hago un estudio cualitativo de tu rostro
tu torso, tus piernas, tu cabello
en fin, tu cuerpo:
Expresión física de la perfección, el delirio y la locura
yo sueño con acariciarte hasta que ya no tengas más piel
yo sueño con poder abarcar tu semblante más de lo que puedo
yo sueño con besar cada uno de tus poros
lo que puedo y no ver
eso que me encanta
eso que tanto me atrae
eso que presumes con tanta naturalidad

Amo tu cuerpo
pero no me malinterpretes
intenta, mejor, comprenderme
ponerte en mi lugar
volverte loca un momento
perderte en lo que pienso.
en lo que escribo
(y en lo que no me atrevo a escribir… aun)

vuélvete loca conmigo
y muéstrame el sendero hacia el delirio
camina
respira
siéntate
coquetéame
mírame
porque cuando lo haces, me haces volar

me siento perdido
cuando te observo
en ocasiones
no encuentro donde estacionar la mirada.

II

Vivo mis momentos queriendo estudiar tu cuerpo.