Explorando los números complejos: El conjunto de Mandelbrot

“El verdadero SER de la matemática radica en su capacidad inagotable de formular problemas, pero a diferencia de otras ciencias, no sólo se contenta en hallar sus soluciones, sino que, para resolverlos puede crear teorías, que a su vez generan nueva matemática. Ésta es precisamente la esencia de su dinamismo creador”


– Enzo R. Gentile

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La base de los números complejos es el número imaginario, mejor conocido como i. Históricamente, este número fueron estudiados por matemáticos como Gauss y Euler. Surgieron de la solución de la siguiente expresión:

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El número se representa con la letra i (de imaginario) ya que no existe número real tal que al multiplicarse por sí mismo, el resultado sea negativo. Ahora bien, ¿Qué es un número complejo? un número complejo es todo número de la forma:

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Tanto a como b, pertenecen al conjunto de los números reales, de manera que un número complejo tiene una forma real y otra imaginaria. Al introducir la unidad conocida como número imaginario, nótese que se ha creado un nuevo conjunto numérico: Los números complejos.

Como es de suponer, este nuevo conjunto tiene sus particularidades y asuntos interesantes sobre los cuales pueden surgir cosas increíbles, por ejemplo:

Supongamos que tenemos un número Z que pertenece al conjunto de los números complejos. Se tiene también la siguiente función iterativa:

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En la que tomamos el número Z, lo elevamos al cuadrado y añadimos una constante, al resultado le aplicamos la misma operación y así sucesivamente. Hasta acá tenemos dos posibilidades que conciernen a la constante C:

Para este estudio, se considerará nada más la posibilidad en la que el número inicial Z y la constante son iguales. Entonces, si tomamos un número complejo y le aplicamos esta operación y graficamos en el plano complejo (plano de coordenadas rectangulares con eje x real y eje y imaginario) cada punto resultante de la función y los unimos con segmentos de rectas, ¿Qué sucede?

Sucede lo siguiente:

Para algunos valores de Z, la función iterativa crece sin cota, podría decirse que escapa hacia el infinito.

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Mientras que para otros valores iniciales de Z, la función “no escapa” o está acotada.

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Los que no escapan, son los puntos que nos interesan. Por ejemplo, se muestran a continuación las trayectorias de distintos valores de Z que no escapan:

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Ahora bien, ¿Qué pasa si graficamos punto por punto todo el conjunto de números complejos, tales que al aplicarles la función iterativa, estos estén acotados?

Sucede lo siguiente:

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Se genera un fractal llamado Conjunto de Mandelbrot, en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010). Precursor y creador de la geometría fractal.

Algunas definiciones del Conjunto de Mandelbrot son:

“El conjunto de todos los números tales que la función Z=Z²+C, Con un valor inicial Z=0, no escapa al infinito o esta acotado”

“El conjunto de todos los números complejos tales que el Conjunto de Julia asociado a esos puntos es un conjunto conexo”

Luego de leer las definiciones, podríamos estar familiarizados con la primera, pero ¿Que hay de la segunda?, ¿Que es un conjunto de Julia?, ¿Qué es un conjunto conexo?

Sucede que para cada punto del plano complejo, existe un conjunto llamado Conjunto de Julia asociado a dicho punto. Estos conjuntos surgen de aplicar el mismo polinomio cuadrático complejo pero esta vez el parámetro C y el valor inicial Z, son diferentes. Entonces el conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los números tales que a cada número del conjunto M, le corresponde un conjunto J que es conexo, en otras palabras, está formado de una sola pieza.

Se ahondará más sobre ello en las próximas entradas sobre números complejos:

Explorando los números complejos: Conjuntos de Julia

Explorando los números complejos: Generar conjunto de Mandelbrot en GeoGebra.

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Referencias:

Herren, Gustavo. Fractales: Las estructuras aleatorias. Compendios, 2002. ISBN: 987-550-061-5

Bibliografía recomendada:

Steward, Ian. Les fractals. Colección Les chroniques de Rose Polymath, Librairie Classique Eugene Berlin, 1982

Blanchard, P. Complex analytic Dynamics on the Riemann sphere. En Bulletin (new series) of the American Mathematical Society.

Lesmoir-Gordon, Niguel; Rood, Will y Edney, Ralph. Introducing Fractal Geometry. Icon book UK, 2000

Peitgen, Heinz-Otto y Jurgens, H. Fraktale, Gezahmtes Chaos. Carl Stiftung Fiedrich von Siemens, 1988.

Chaos and Fractals: Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. Vol 39, American Mathematical Society.

 

Enlaces útiles:

Generadores de fractales en línea:

1-http://www.easyfractalgenerator.com/mandelbrot-set-generator.aspx

2-http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/fractales/html/index.html

3-http://www.fractalposter.com/fractal_generator.php

Software utilizado

GeoGebra versión 4.0.10.0 Debian package. Sitio web: http://www.geogebra.org/

Fraqtive 0.4.5. A Mandelbrot family fractal generator. Licensed under the GNU General Public License. Sitio web: http://fraqtive.mimec.org

 

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Tres libros de Jorge Luis Borges

¿En busca de una nueva lectura? ¿Por qué no leer un maravilloso libro de Jorge Luis Borges? Clic en la imagen para descargar.

1. El libro de los sueños:

“Pao Yu soñó que estaba en un jardín idéntico al de su casa. ¿Será posible, dijo, que haya un jardín idéntico al mío? Se le acercaron unas doncellas. Pao Yu se dijo atónito: ¿Alguien tendrá doncellas iguales a Hsi-Yen, a Pin-Erh y a todas las de casa? Una de las doncellas exclamó: “Ahí está Pao Yu. ¿Cómo habrá llegado hasta aquí?” Pao Yu pensó que lo habían reconocido. Se adelantó y les dijo: “Estaba caminando; por casualidad llegué hasta aquí. Caminemos un poco”. Las doncellas se rieron. “¡Qué desatino! Te confundimos con Pao Yu, nuestro amo, pero no eres tan gallardo como él.” Eran doncellas de otro Pao Yu. “Queridas hermanas”, les dijo, “yo soy Pao Yu. ¿Quién es vuestro amo?” “Es Pao Yu”, contestaron. “Sus padres le dieron ese nombre, compuesto por los dos caracteres Pao (precioso) y Yu (jade), para que su vida fuera larga y feliz. ¿Quién eres tú para usurpar su nombre?” Y se fueron, riéndose.

Pao Yu quedó abatido. “Nunca me han tratado tan mal. ¿Por qué me aborrecerán estas doncellas? ¿Habrá, de veras, otro Pao Yu? Tengo que averiguarlo.” Trabajado por estos pensamientos, llegó a un patio que le resultó familiar. Subió la escalera y entró en su cuarto. Vio a un joven acostado; al lado de la cama reían y hacían labores unas muchachas. El joven suspiraba. Una de las doncellas le dijo: “¿Qué sueñas, Pao Yu? ¿Estás afligido?” “Tuve un sueño muy raro. Soñé que estaba en un jardín y que ustedes no me reconocían y me dejaban solo. Las seguí hasta la casa y me encontré con otro Pao Yu durmiendo en mi cama.” Al oír el diálogo Pao Yu no pudo contenerse y exclamó: “Vine en busca de un Pao Yu; eres tú”. El joven se levantó y lo abrazó, gritando: “No era un sueño: tú eres Pao Yu”. Una voz llamó desde el jardín: “¡Pao Yu!” Los dos Pao Yu temblaron. El soñado se fue; el otro decía: “¡Vuelve pronto, Pao Yu!” Pao Yu se despertó. Su doncella Hsi-Yen le preguntó: “¿Qué soñabas, Pao Yu? ¿Estás afligido?” “Tuve un sueño muy raro. Soñé que estaba en un jardín y que ustedes no me reconocían…”.”

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2. Borges and Mathematics.

“…as soon as I began to review his complete works in a methodical, “mathematical” way, Borges’ lifelong, enduring fascination and curiosity about that discipline emerged in all their lucidity: his pride in those aspects he had mastered, the little lessons he presented in some of his essays, the reviews, and readings of mathematical books. Suffice it to say that I was able to find almost 200 citations with mathematical allusions throughout his oeuvre, and a bibliography of 45 mathematical works consulted or cited.1 Beyond this rather impressive body of references, most interesting and revealing for me was the discovery of clear traces of some mathematical ideas behind several of his fictions, and an awareness of the subtle way in which mathematical concepts were transmuted and imbued with new life within a context of literary intentions. To study Borges’ appropriation of these ideas and to analyze them within each fictional work without separating them from those literary intentions, with the facets and layers of meaning they add, is the fundamental purpose of this book.”

 

3. Libro del cielo y del infierno

“Este libro es la reencarnación de otro más extenso,, más lento y acaso menos exigente que hace años compilamos: algo de resignada biblioteca o de archivo impersonal había en él: cada uno de los diversos libros sagrados que la humanidad ha compuesto nos, había legado una considerable cuota de páginas; felizmente aquella obra nunca se publicó.

El criterio que hoy nos guía es distinto. Hemos bus cado lo esencial, sin descuidar lo vivido, lo onírico y lo paradójico. Tal vez nuestro volumen deje entrever la milenaria evolución de los conceptos de cielo y de infierno; a partir de Swedenborg se piensa en estados del alma y no en un. establecimiento de premios y otro de penas.”

 

 

 

Por el camino de Swann

“Otras veces, así como Eva nació de una costilla de Adán, una mujer nacía mientras yo estaba durmiendo, de una mala postura de mi cadera. Y siendo criatura hija del placer que y estaba a punto de disfrutar, se me figuraba que era ella la que me lo ofrecía. Mi cuerpo sentía en el de ella su propio calor, iba a buscarlo, y yo me despertaba.

Todo el resto de los mortales se me aparecía como cosa muy borrosa junto a esta mujer, de la que me separara hacía un instante: conservaba aún mi mejilla el calor de su beso y me sentía dolorido por el peso de su cuerpo. Si, como sucedía algunas veces, se me representaba con el semblante de una mujer que yo había conocido en la vida real, yo iba a entregarme con todo mi ser a este único fin: encontrarla; lo mismo que esas personas que salen de viaje para ver con sus propios ojos una ciudad deseada, imaginándose que en una cosa real se puede saborear el encanto de lo soñado. Poco a poco el recuerdo se disipaba; ya estaba olvidada la criatura de mi sueño.”

– Marcel Proust