Explorando los números complejos: El conjunto de Mandelbrot

“El verdadero SER de la matemática radica en su capacidad inagotable de formular problemas, pero a diferencia de otras ciencias, no sólo se contenta en hallar sus soluciones, sino que, para resolverlos puede crear teorías, que a su vez generan nueva matemática. Ésta es precisamente la esencia de su dinamismo creador”


– Enzo R. Gentile

fractal2

La base de los números complejos es el número imaginario, mejor conocido como i. Históricamente, este número fueron estudiados por matemáticos como Gauss y Euler. Surgieron de la solución de la siguiente expresión:

Captura de pantalla - 300714 - 16:54:33

El número se representa con la letra i (de imaginario) ya que no existe número real tal que al multiplicarse por sí mismo, el resultado sea negativo. Ahora bien, ¿Qué es un número complejo? un número complejo es todo número de la forma:

Captura de pantalla - 300714 - 17:01:11

Tanto a como b, pertenecen al conjunto de los números reales, de manera que un número complejo tiene una forma real y otra imaginaria. Al introducir la unidad conocida como número imaginario, nótese que se ha creado un nuevo conjunto numérico: Los números complejos.

Como es de suponer, este nuevo conjunto tiene sus particularidades y asuntos interesantes sobre los cuales pueden surgir cosas increíbles, por ejemplo:

Supongamos que tenemos un número Z que pertenece al conjunto de los números complejos. Se tiene también la siguiente función iterativa:

Captura de pantalla - 300714 - 16:48:51

En la que tomamos el número Z, lo elevamos al cuadrado y añadimos una constante, al resultado le aplicamos la misma operación y así sucesivamente. Hasta acá tenemos dos posibilidades que conciernen a la constante C:

Para este estudio, se considerará nada más la posibilidad en la que el número inicial Z y la constante son iguales. Entonces, si tomamos un número complejo y le aplicamos esta operación y graficamos en el plano complejo (plano de coordenadas rectangulares con eje x real y eje y imaginario) cada punto resultante de la función y los unimos con segmentos de rectas, ¿Qué sucede?

Sucede lo siguiente:

Para algunos valores de Z, la función iterativa crece sin cota, podría decirse que escapa hacia el infinito.

diverge

 

 

Mientras que para otros valores iniciales de Z, la función “no escapa” o está acotada.

converge

Los que no escapan, son los puntos que nos interesan. Por ejemplo, se muestran a continuación las trayectorias de distintos valores de Z que no escapan:

This slideshow requires JavaScript.

Ahora bien, ¿Qué pasa si graficamos punto por punto todo el conjunto de números complejos, tales que al aplicarles la función iterativa, estos estén acotados?

Sucede lo siguiente:

1474465_468460076605906_2037451033_n

Se genera un fractal llamado Conjunto de Mandelbrot, en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010). Precursor y creador de la geometría fractal.

Algunas definiciones del Conjunto de Mandelbrot son:

“El conjunto de todos los números tales que la función Z=Z²+C, Con un valor inicial Z=0, no escapa al infinito o esta acotado”

“El conjunto de todos los números complejos tales que el Conjunto de Julia asociado a esos puntos es un conjunto conexo”

Luego de leer las definiciones, podríamos estar familiarizados con la primera, pero ¿Que hay de la segunda?, ¿Que es un conjunto de Julia?, ¿Qué es un conjunto conexo?

Sucede que para cada punto del plano complejo, existe un conjunto llamado Conjunto de Julia asociado a dicho punto. Estos conjuntos surgen de aplicar el mismo polinomio cuadrático complejo pero esta vez el parámetro C y el valor inicial Z, son diferentes. Entonces el conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los números tales que a cada número del conjunto M, le corresponde un conjunto J que es conexo, en otras palabras, está formado de una sola pieza.

Se ahondará más sobre ello en las próximas entradas sobre números complejos:

Explorando los números complejos: Conjuntos de Julia

Explorando los números complejos: Generar conjunto de Mandelbrot en GeoGebra.

fractal

 

Referencias:

Herren, Gustavo. Fractales: Las estructuras aleatorias. Compendios, 2002. ISBN: 987-550-061-5

Bibliografía recomendada:

Steward, Ian. Les fractals. Colección Les chroniques de Rose Polymath, Librairie Classique Eugene Berlin, 1982

Blanchard, P. Complex analytic Dynamics on the Riemann sphere. En Bulletin (new series) of the American Mathematical Society.

Lesmoir-Gordon, Niguel; Rood, Will y Edney, Ralph. Introducing Fractal Geometry. Icon book UK, 2000

Peitgen, Heinz-Otto y Jurgens, H. Fraktale, Gezahmtes Chaos. Carl Stiftung Fiedrich von Siemens, 1988.

Chaos and Fractals: Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. Vol 39, American Mathematical Society.

 

Enlaces útiles:

Generadores de fractales en línea:

1-http://www.easyfractalgenerator.com/mandelbrot-set-generator.aspx

2-http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/fractales/html/index.html

3-http://www.fractalposter.com/fractal_generator.php

Software utilizado

GeoGebra versión 4.0.10.0 Debian package. Sitio web: http://www.geogebra.org/

Fraqtive 0.4.5. A Mandelbrot family fractal generator. Licensed under the GNU General Public License. Sitio web: http://fraqtive.mimec.org

 

Advertisements

Canciones sobre el cálculo diferencial e integral.

Mientras estudiaba para una evaluación de cálculo, me encontré con un post muy interesante sobre criterios para usar la integración por partes. Resulta que un par de minutos después estaba en youtube escuchando unas canciones muy graciosas, con letras muy creativas. Todas ellas son parodias de canciones populares. Todas, también, relacionadas al cálculo. Sin mas que añadir, aquí van:

1. I integrate by parts

2. Calculus Rhapsody

3. I will derive

Interesantes, ¿no? te ayuda a darte cuenta de que la gran mayoría de estudiantes de cálculo comparten las mismas preocupaciones, mas no todos le encuentran el lado gracioso.

Resultados salvadoreños en la XVI Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe 2014

Salvamate

Me enorgullece informar a mis lectores sobre los resultados de El Salvador en la  XV Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe, que acaba de ser celebrada en San José (Costa Rica) del 6 al 14 de junio de 2014. Resumo a continuación los datos más importantes:

Carlos Rafael Gil Alvarado: Medalla de plata
Gabriel Emiliano Carranza Menjívar: Medalla de plata
Carlos Ariel Piche Cruz: Mención honorífica

Puntaje por equipo: 87 (máximo 126)

Ranking: 2 (empate con Colombia; 12 países participantes)

Las responsabilidades de líder y tutor recayeron respectivamente en el Lic. Mario Ruiz  y Byron Thonatiu Escobar Benítez, ambos pertenecientes a la Escuela de Matemática de la Universidad de El Salvador.

[Estimados lectores: Pueden consultar los enunciados de los problemas en los enlaces a continuación. Me disculpo por la mala calidad de las imágenes; espero reemplazarlas dentro de poco por los archivos originales. -G.]

Examen día 1
Examen…

View original post 416 more words

Algoritmos para el cálculo de raíces cuadradas: Método de Newton-Raphson

En cálculo diferencial, se conoce como el método de Newton-Raphson a la función iterativa desarrollada por Isaac Newton para aproximar los ceros de una función cualquiera, valiéndose solamente de la función misma y su derivada. El proceso iterativo es bastante útil para encontrar, por ejemplo, las raíces de una función cúbica con ceros no necesariamente enteros o racionales (irracionales, no complejos) los cuales serían difíciles de encontrar con los métodos tradicionales como la factorización.

El método basicamente trabaja de esta manera: Dado un valor inicial x, que idealmente podría ser un valor cercano a la raíz, evaluamos la función en dicho valor, luego encontramos la ecuación de la recta tangente a la función en ese punto, encontramos luego su respectivo intercepto con el eje x. Ese numero se toma como valor siguiente y se vuelve a hacer el proceso. Eventualmente llegaremos a la raíz con una buena aproximación decimal, mientras más iteraciones se hacen, más preciso es el resultado. Geométricamente se ve así:

NewtonIteration_Ani

Así es como trabaja el método y su fórmula es la siguiente:

02b0a84e7054711b104161fc09c9ac83

Ahora bien, supongamos que queremos escribir un algoritmo que calcule la raíz cuadrada de un número cualquiera. Opciones existen muchas, pues podemos basar nuestro algoritmo en el método de fracciones continuas, el babilónico, con series de Taylor o con cualquier otro método, pero, ¿por qué no usar el de Newton-Raphson? Para poder hacer esto solo se necesita una función de la forma f(x) =x²-r, donde r es el número cuya raíz cuadrada deseamos aproximar. Su respectiva derivada f'(x) seria, entonces, 2x. Como resultado obtenemos un algoritmo muy sencillo para calcular raíces cuadradas. En lenguaje de programación Java, el algoritmo se escribiría más o menos así:

double radicando = 2;
double resultado = 1;
int i = 0;
while(i<25){
resultado=resultado-((resultado*resultado-radicando)/(2*resultado));
i++;
}
System.out.print("La raíz cuadrada de"+radicando+" es:"+resultado);

Lo he escrito de manera que se hagan 24 iteraciones de la función de Newton-Raphson, esto es suficiente para conseguir una aproximación bastante buena de nuestras raíces. Ahora bien, si de raíces cúbicas se tratase la función sería f(x)= x³-r, y su derivada f'(x)= 3x². Nótese que los cambios que habría que hacer al algoritmo son mínimos. Nótese también que el algoritmo le calcula la raíz al valor de la variable “radicando”.

Captura de pantalla - 200514 - 20:56:47

Captura de pantalla del código compilado en Ideone.com. La imagen contiene un enlace al algoritmo.

Esta es la primera entrada de una serie de publicaciones relacionadas a algoritmos básicos necesarios para programar una calculadora científica. Por ahora, solo me resta darle todo el mérito a Sir. Isaac Newton por tan potente método.

GodfreyKneller-IsaacNewton-1689

Mutua excluyencia: Círculo y línea.

“Toda línea recta es el arco de un circulo infinito”

Nicolás de Cusa

Leyendo uno de los relatos de El Aleph, de Jorge Luis Borges, quedé particularmente fascinado por una frase que, en el relato Abenjacán el Bojarí muerto en su laberinto, Unwin el matemático del relato recuerda la frase la cual me sirvo de epígrafe, y que citaré de nuevo:

              “Toda línea recta es el arco de un circulo infinito”

Claro está que, dado 3 puntos cualesquiera en el espacio, hay un solo plano que intersecta dichos puntos. Se sabe también, que en esos 3 puntos existe un solo círculo que los cruza . Más generalmente se puede trazar una circunferencia que pase por 3 puntos, los que nosotros queramos. Ahora bien, ¿qué sucede si ubicamos estos tres puntos en una linea recta? Podría decirse, quizá, de una manera poética, que dicha linea es una curva degenerada cuyo centro se encuentra en el infinito. Que las mediatrices de el triángulo formado por los 3 puntos son lineas paralelas que se juntan en el infinito.

Para ejemplificar lo que acabo de expresar, me he servido de este applet hecho en GeoGebra, el cual se puede manipular. Por defecto, se manipula solo, pero es posible pausar la animación y explorar a nuestro gusto. Nótese la ecuación de la circunferencia cuando la coordenada x del punto es cero.

o

Ahora presentaré este applet que es igual al anterior, con la sola diferencia que ahora están las mediatrices del triangulo que forman los 3 puntos que definen al círculo. ¿Qué pasa cuando el círculo es infinito? el centro (punto E) no existe y las mediatrices son paralelas, o el punto E existe, está en el infinito donde las mediatrices se juntan.

l

Todo esto que he escrito, para mí, es muy poético. En esta entrada no he querido hacer un estudio exhaustivo sobre el tema, esto nada tiene que ver con la formalidad matemática que se requiere dado que no es un estudio específico. Solo he querido hacer un breve comentario sobre las impresiones que me causo una cita, a mi entender, hermosa y profundamente interesante. Forjense, pues, ustedes mismos opiniones y juicios al respecto, todo aporte es bienvenido.

Escher: El maestro del teselado

Maurits Cornelis Escher, fue un artista holandés cuyas obras tienen motivos geométricos y matemáticos interesantes. En muchas de ellas, al retratar un espacio tridimensional en uno de dos dimensiones, crea ilusiones y trucos visuales, figuras imposibles que encantan y confunden.

En cuanto a sus obras de diferente categoría, destacan las que usa el teselado como motivo principal en la construcción de las mismas. Algo simple pero absoluto y hermoso. Sin más que añadir, he aquí algunas de sus creaciones.

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Enlaces:

Biografía

Obras destacadas