Explorando los números complejos: El conjunto de Mandelbrot

“El verdadero SER de la matemática radica en su capacidad inagotable de formular problemas, pero a diferencia de otras ciencias, no sólo se contenta en hallar sus soluciones, sino que, para resolverlos puede crear teorías, que a su vez generan nueva matemática. Ésta es precisamente la esencia de su dinamismo creador”


– Enzo R. Gentile

fractal2

La base de los números complejos es el número imaginario, mejor conocido como i. Históricamente, este número fueron estudiados por matemáticos como Gauss y Euler. Surgieron de la solución de la siguiente expresión:

Captura de pantalla - 300714 - 16:54:33

El número se representa con la letra i (de imaginario) ya que no existe número real tal que al multiplicarse por sí mismo, el resultado sea negativo. Ahora bien, ¿Qué es un número complejo? un número complejo es todo número de la forma:

Captura de pantalla - 300714 - 17:01:11

Tanto a como b, pertenecen al conjunto de los números reales, de manera que un número complejo tiene una forma real y otra imaginaria. Al introducir la unidad conocida como número imaginario, nótese que se ha creado un nuevo conjunto numérico: Los números complejos.

Como es de suponer, este nuevo conjunto tiene sus particularidades y asuntos interesantes sobre los cuales pueden surgir cosas increíbles, por ejemplo:

Supongamos que tenemos un número Z que pertenece al conjunto de los números complejos. Se tiene también la siguiente función iterativa:

Captura de pantalla - 300714 - 16:48:51

En la que tomamos el número Z, lo elevamos al cuadrado y añadimos una constante, al resultado le aplicamos la misma operación y así sucesivamente. Hasta acá tenemos dos posibilidades que conciernen a la constante C:

Para este estudio, se considerará nada más la posibilidad en la que el número inicial Z y la constante son iguales. Entonces, si tomamos un número complejo y le aplicamos esta operación y graficamos en el plano complejo (plano de coordenadas rectangulares con eje x real y eje y imaginario) cada punto resultante de la función y los unimos con segmentos de rectas, ¿Qué sucede?

Sucede lo siguiente:

Para algunos valores de Z, la función iterativa crece sin cota, podría decirse que escapa hacia el infinito.

diverge

 

 

Mientras que para otros valores iniciales de Z, la función “no escapa” o está acotada.

converge

Los que no escapan, son los puntos que nos interesan. Por ejemplo, se muestran a continuación las trayectorias de distintos valores de Z que no escapan:

This slideshow requires JavaScript.

Ahora bien, ¿Qué pasa si graficamos punto por punto todo el conjunto de números complejos, tales que al aplicarles la función iterativa, estos estén acotados?

Sucede lo siguiente:

1474465_468460076605906_2037451033_n

Se genera un fractal llamado Conjunto de Mandelbrot, en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010). Precursor y creador de la geometría fractal.

Algunas definiciones del Conjunto de Mandelbrot son:

“El conjunto de todos los números tales que la función Z=Z²+C, Con un valor inicial Z=0, no escapa al infinito o esta acotado”

“El conjunto de todos los números complejos tales que el Conjunto de Julia asociado a esos puntos es un conjunto conexo”

Luego de leer las definiciones, podríamos estar familiarizados con la primera, pero ¿Que hay de la segunda?, ¿Que es un conjunto de Julia?, ¿Qué es un conjunto conexo?

Sucede que para cada punto del plano complejo, existe un conjunto llamado Conjunto de Julia asociado a dicho punto. Estos conjuntos surgen de aplicar el mismo polinomio cuadrático complejo pero esta vez el parámetro C y el valor inicial Z, son diferentes. Entonces el conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los números tales que a cada número del conjunto M, le corresponde un conjunto J que es conexo, en otras palabras, está formado de una sola pieza.

Se ahondará más sobre ello en las próximas entradas sobre números complejos:

Explorando los números complejos: Conjuntos de Julia

Explorando los números complejos: Generar conjunto de Mandelbrot en GeoGebra.

fractal

 

Referencias:

Herren, Gustavo. Fractales: Las estructuras aleatorias. Compendios, 2002. ISBN: 987-550-061-5

Bibliografía recomendada:

Steward, Ian. Les fractals. Colección Les chroniques de Rose Polymath, Librairie Classique Eugene Berlin, 1982

Blanchard, P. Complex analytic Dynamics on the Riemann sphere. En Bulletin (new series) of the American Mathematical Society.

Lesmoir-Gordon, Niguel; Rood, Will y Edney, Ralph. Introducing Fractal Geometry. Icon book UK, 2000

Peitgen, Heinz-Otto y Jurgens, H. Fraktale, Gezahmtes Chaos. Carl Stiftung Fiedrich von Siemens, 1988.

Chaos and Fractals: Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. Vol 39, American Mathematical Society.

 

Enlaces útiles:

Generadores de fractales en línea:

1-http://www.easyfractalgenerator.com/mandelbrot-set-generator.aspx

2-http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/fractales/html/index.html

3-http://www.fractalposter.com/fractal_generator.php

Software utilizado

GeoGebra versión 4.0.10.0 Debian package. Sitio web: http://www.geogebra.org/

Fraqtive 0.4.5. A Mandelbrot family fractal generator. Licensed under the GNU General Public License. Sitio web: http://fraqtive.mimec.org

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s