Mutua excluyencia: Círculo y línea.

“Toda línea recta es el arco de un circulo infinito”

Nicolás de Cusa

Leyendo uno de los relatos de El Aleph, de Jorge Luis Borges, quedé particularmente fascinado por una frase que, en el relato Abenjacán el Bojarí muerto en su laberinto, Unwin el matemático del relato recuerda la frase la cual me sirvo de epígrafe, y que citaré de nuevo:

              “Toda línea recta es el arco de un circulo infinito”

Claro está que, dado 3 puntos cualesquiera en el espacio, hay un solo plano que intersecta dichos puntos. Se sabe también, que en esos 3 puntos existe un solo círculo que los cruza . Más generalmente se puede trazar una circunferencia que pase por 3 puntos, los que nosotros queramos. Ahora bien, ¿qué sucede si ubicamos estos tres puntos en una linea recta? Podría decirse, quizá, de una manera poética, que dicha linea es una curva degenerada cuyo centro se encuentra en el infinito. Que las mediatrices de el triángulo formado por los 3 puntos son lineas paralelas que se juntan en el infinito.

Para ejemplificar lo que acabo de expresar, me he servido de este applet hecho en GeoGebra, el cual se puede manipular. Por defecto, se manipula solo, pero es posible pausar la animación y explorar a nuestro gusto. Nótese la ecuación de la circunferencia cuando la coordenada x del punto es cero.

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Ahora presentaré este applet que es igual al anterior, con la sola diferencia que ahora están las mediatrices del triangulo que forman los 3 puntos que definen al círculo. ¿Qué pasa cuando el círculo es infinito? el centro (punto E) no existe y las mediatrices son paralelas, o el punto E existe, está en el infinito donde las mediatrices se juntan.

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Todo esto que he escrito, para mí, es muy poético. En esta entrada no he querido hacer un estudio exhaustivo sobre el tema, esto nada tiene que ver con la formalidad matemática que se requiere dado que no es un estudio específico. Solo he querido hacer un breve comentario sobre las impresiones que me causo una cita, a mi entender, hermosa y profundamente interesante. Forjense, pues, ustedes mismos opiniones y juicios al respecto, todo aporte es bienvenido.

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